Fiabilité des simulations numériques et évaluation des incertitudes : application à la reconception de centrales hydrauliques

Thèse O. Brugière

Présentation de ma thèse

Problématique

  • Contexte :

Cette thèse est en lien avec les projets actuels de développement de l’hydroélectricité en France. A ce titre, ce projet de recherche est en relation avec les activités du pôle de compétitivité Tenerrdis et s’inscrit dans le programme « Production d’électricité à partir de sources renouvelables » de l’ADEME. L’hydroélectricité représente 95 % de l’électricité produite à partir de sources d’énergies renouvelables en France. Elle constitue par excellence l’énergie du développement durable.

En France, le développement de l’hydroélectricité passe désormais par le remplacement des anciennes turbines par des turbines plus performantes. Ce sont les projets de reconception que mène Alstom Hydro France aussi bien expérimentalement que numériquement. L'inconvénient des campagnes expérimentales est principalement le temps nécessaire à leur mise en place. Pour chaque configuration, il est nécessaire de refaire un prototype, ce qui peut devenir coûteux. Bien souvent, l'outil numérique s'avère très utile.

Mais pour que ces projets soient économiquement viables, il faut pouvoir s’assurer de la fiabilité des études numériques menées lors de la conception. C’est l’objectif de la thèse proposée.

En effet, cette thèse vise à développer des outils de mesure de fiabilité des simulations numériques et à quantifier les incertitudes des simulations de façon similaire aux barres d’erreurs accompagnant les mesures expérimentales. La quantification de ces incertitudes nécessite des compétences fortes en mécanique des fluides, simulation numérique et en mathématiques appliquées.

Quelques notions de turbulence

Les écoulements que nous rencontrons dans la vie de tous les jours, dans la nature ou dans l'industrie sont turbulents. Nous avons tous une idée de ce qu'est la turbulence. Voici ses principales caractéristiques :

  • Dans les écoulements turbulents, une perturbation, aussi petite soit-elle, va être amplifiée fortement. Ceci ne permet donc pas de faire deux fois la même expérience. Nous ne pouvons donc pas faire une prévision exacte de ce type d'écoulement.
  • Un écoulement turbulent possède une forte capacité de "mélange". C'est pour cela que ce type d'écoulement est très souvent utilisé dans le milieu industriel pour, par exemple, permettre le mélange de constituants.
  • Un écoulement turbulent contient une très grande variété d'échelles : les grandes structures qui sont dues à la géométrie et les petites structures (dissipatives) qui sont "universelles" pour tous les écoulements (la plus petite échelle est appelée l'échelle de Kolmogorov). C'est sur cette observation qu'est basée en partie la modélisation de la turbulence.

Simulation numérique de la turbulence

La simulation numérique en mécanique des fluides consiste à étudier les mouvements d'un fluide, par la résolution numérique des équations le régissant. En fonction des approximations choisies, qui résultent d'un compromis en termes de représentation physique et de ressource informatique disponible, les équations résolues peuvent être les  équations d'Euler, les  équations de Navier-Stokes, etc.

  • Fluide parfait : Cette méthode est basée sur des hypothèses relativement importantes (fluide non visqueux et sans conductivité thermique). Ceci permet de résoudre les équations de Navier-Stokes en supprimant le terme visqueux. On résout donc les équations d'Euler. C'est une méthode qui est très rapide en temps d'exécution mais qui n'est pas très précise dès que les hypothèses ne sont plus vérifiées.
  • RANS : Le modèle statistique RANS (pour Reynolds Average Navier-Stokes) permet de modéliser des écoulements. Il est obtenu en moyennant les équations de Navier-Stokes. Le principal avantage de la méthode RANS réside dans les temps de calcul industriels, elle ne nécissite pas beaucoup de ressources informatiques. Cependant, si les écoulements faiblement instationnaires sont généralement simulés avec une précision correcte, on perd des informations pour les écoulements fluctuants.
  • SGE : La Simulation des Grandes Echelles (SGE ou LES pour Large Eddy Simulation) est une approche intermédiaire. Cette méthode résout les équations de Navier Stokes pour les grandes échelles de l'écoulement qui sont porteuses d'énergie. Quant aux échelles plus petites, elles sont modélisées. La SGE permet d'obtenir des informations supplémentaires par rapport à la méthode RANS qui sont des informations statistiques (comme la valeur moyenne, mais aussi les fluctuations des différentes grandeurs) et topologiques (apparition des structures cohérentes comme des tourbillons).
  • SND : Simulation Numérique Directe (SND ou DNS pour Direct Numerical Simulation) consiste à résoudre (simuler) toutes les échelles de la turbulence. C'est la solution qui se rapproche le plus de la réalité (nous pouvons avoir toutes les statistiques que nous voulons puisque nous calculons des valeurs instantanées). Elle permet d'effectuer une étude numérique d'un écoulement dont on résout entièrement le système d'équations considérées. Cette approche est très précise et permet d'avoir des grandeurs instantanées de façon non intrusive. Par contre cette méthode nécessite de grosses ressources informatiques.

Récapitulatif des différentes méthodes
Ressources informatiques Précision des résultats
Fluide Parfait++--
RANS+-
SGE-+
SND--++

Dans le cadre de ma thèse, nous utiliserons seulement les trois premières méthodes. La SND n'étant pas encore envisageable pour des configurations de types industrielles car son coup de calcul est trop important.

Incertitudes

Formulation mathématique d'une simulation déterministe

En mécanique, lorsque l'on souhaite faire une simulation numérique d'une expérience, d'un phénomène naturel, il faut arriver à décrire le comportement du phénomène par une équation. Dans le cas général, nous pouvons écrire toutes ces équations sous la forme :

$\mathcal{L}\left(\mathbf{x},t;u\left(\mathbf{x},t\right) \right) = S\left(\mathbf{x},t\right)$

avec $\mathcal{L}$ un opérateur différentiel (potentiellement non-linéaire), qui peut avoir des dérivées spatiales et temporelles, $u\left(\mathbf{x},t\right)$ la solution du problème et $S\left(\mathbf{x},t\right)$ un terme source. Pour pouvoir résoudre le problème, il faut associer à cette équation des conditions initiales (CI) et aux limites (CL). Lorsque l'on résout cette équation pour un jeu de CI et de CL, nous obtenons une seule et unique solution, c'est ce que l'on appelle une solution déterministe.

Formulation mathématique d'une simulation stochastique

Dans un problème de mécanique des fluides, les CI et les CL ne sont pas forcement données avec une précision de $100\%$. Il faut donc prendre en compte ces conditions comme étant des événements aléatoires. Lors de la résolution de l'équation déterministe, nous obtiendrons donc une solution qui est potentiellement incertaine. Ce nouveau problème peut se traduire par :

$\mathcal{L}\left(\mathbf{x},t,\omega;u\left(\mathbf{x},t,\omega\right) \right) = S\left(\mathbf{x},t,\omega\right)$

avec les conditions initiales et aux limites appropriées. $\mathcal{L}$ est un opérateur différentiel (potentiellement non-linéaire), qui peut avoir des dérivées spatiales et temporelles. La solution de cette équation peut être dépendante d'un événement aléatoire (indiqué par $\omega$), tout comme le terme source $S\left(\mathbf{x},t,\omega\right)$ et l'opérateur différentiel. $\omega$ est introduit dans l'opérateur différentiel, dans le terme source, conditions aux limites et conditions initiales par la présence d'un ou plusieurs paramètres incertains. Ce qui nous donne un résultat potentiellement incertain qui, pour être décrit correctement, nécessite une approche stochastique du problème. Cette approche nous donnera accés, en fonction des méthodes choisies, à des informations sur la sortie telles que la moyenne, la variance et aussi la densité de probabilité.

Méthodes de quantification de l'incertitude

Pour résoudre les équations stochastiques, lors de la recherche bibliographique, nous avons identifié trois groupes de méthodes :

  1. Les méthodes aléatoires : Méthodes basées sur un tirage aléatoire des événements aléatoires (ex Méthodes de Monte-Carlo)
  1. Les méthodes dites intrusives : Méthodes nécessitant la modification des codes de calcul, mais qui sont moins coûteuses en temps de calcul que les méthodes aléatoires
  1. Les méthodes dites non-intrusives : Méthodes ne nécessitant pas la modification des codes de calcul, mais qui sont moins coûteuses en temps de calcul que les méthodes aléatoires

Directeurs de thèse

Olivier METAIS

  • Professeur des universités et directeur de l'ENSE3 ( Grenoble-INP)
  • Membre de l’équipe "Modélisation et Simulation de la Turbulence" ( LEGI)

Christophe CORRE

Guillaume BALARAC

Financement de la thèse

  •  ADEME : Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie, Vincent Guenard (Ingénieur éolien, hydraulique et énergies marines)
  •  ALSTOM Hydro Power : Emmanuel Flores (R&D ALSTOM), Pierre Leroy (R&D ALSTOM)

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